مِحسبةطريقة الاستخدام
يصف التوزيع ذو الحدين عدد النجاحات في عدد ثابت من المحاولات المستقلة عندما يبقى احتمال النجاح نفسه في كل محاولة. لخمسة اختبارات مستقلة واحتمال نجاح 40% لكل اختبار، احتمال ثلاثة نجاحات بالضبط هو C(5,3)×0.4³×0.6²=23.04%. واحتمال نجاح واحد على الأكثر يساوي P(0)+P(1)=33.696%. أدخل 40 في خانة الاحتمال المئوي، لا 0.4؛ وميّز بين العدد الدقيق والمجموع التراكمي.
- أدخل عدد المحاولات n كعدد صحيح من 0 إلى 1000.
- أدخل احتمال النجاح p كنسبة من 0 إلى 100، ثم عدد النجاحات k.
- احسب لعرض P(X=k) وP(X≤k) وP(X≥k) والمتوسط والتباين.
طريقة الحساب
مثال عملي
مثال: n=10 وp=50% وk=5؛ احتمال الحصول على 5 نجاحات بالضبط يقارب 24.61%.
ملاحظات مهمة
يفترض النموذج استقلال المحاولات وثبات p ووجود نتيجتين لكل محاولة. السحب دون إرجاع من مجتمع صغير قد يتطلب توزيعًا فوق هندسيًا بدلًا منه.
أمثلة عملية وقراءة النتائج
أربع محاولات مستقلة، باحتمال نجاح 50% لكل محاولة، تعطي احتمال نجاحين بالضبط 37.5%. عدد النجاحات المتوقع 2 ، لكنه ليس نتيجة مضمونة.
| الحالة | طريقة الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| احتمال نجاحين بالضبط | 6 × 0.5² × 0.5² × 100 | 37.5 % |
| العدد المتوقع | 4 × 0.5 | 2 |
| ثلاثة نجاحات بالضبط: n=5 وp=40% | 10 × 0.4³ × 0.6² × 100 | 23.04 % |
| نجاح واحد على الأكثر: n=5 وp=40% | (0.6⁵ + 5 × 0.4 × 0.6⁴) × 100 | 33.696 % |
كيف تتحقق من النتيجة؟
أدخل n=4 وp=50 وk=2. النموذج يتطلب عدد محاولات ثابتًا واحتمالًا ثابتًا واستقلالًا؛ السحب دون إرجاع من مجموعة صغيرة قد يحتاج توزيعًا آخر.
احتمالات التوزيع ذي الحدين
يحسِب التوزيع ذو الحدين احتمال عدد محدد من النجاحات خلال تجارب مستقلة يكون احتمال النجاح فيها ثابتًا. استخدم التوافيق وقوى احتمالي النجاح والفشل.
- نجاحان في أربع محاولات: C(4,2) × 0.5² × 0.5² = 0.375
- لا نجاح في ثلاث محاولات: 0.8³ = 0.512
- القيمة المتوقعة لأربع محاولات: 4 × 0.5 = 2
ملاحظة مهمة
لا تستخدم توزيع ذي الحدين عندما تكون التجارب مترابطة أو يتغير احتمال النجاح بين المحاولات.
حاسبات مرتبطة
أسئلة شائعة
ما الفرق بين بالضبط وعلى الأكثر؟
بالضبط k يحسب حالة واحدة، أما على الأكثر k فيجمع الاحتمالات من 0 حتى k.
هل يمكن أن يكون p صفرًا أو 100%؟
نعم؛ عندها يصبح التوزيع حتميًا، وتتعامل الحاسبة مع الحالتين مباشرة.
متى لا يكون التوزيع ذو الحدين مناسبًا؟
لا يناسب الحالات التي يتغير فيها احتمال النجاح بين المحاولات أو تكون النتائج مترابطة أو يوجد أكثر من نتيجتين فعليتين. في السحب دون إرجاع من مجتمع صغير قد يكون التوزيع فوق الهندسي أدق.
كيف أحسب احتمال k نجاحات على الأقل؟
استخدم P(X≥k)=1−P(X≤k−1). مثلًا مع n=5 وp=40%، احتمال ثلاثة نجاحات على الأقل 31.744%. طرح P(X≤k) يحذف حالة k المطلوبة أيضًا.
هل متوسط عدد النجاحات هو الاحتمال نفسه؟
لا. المتوسط المتوقع هو np، بينما احتمال عدد معين يُحسب من توزيع ذي الحدين. في n=5 وp=40%، المتوسط 2 نجاح، لكنه لا يعني أن احتمال نجاحين يساوي 2.