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Mode d’emploi
La loi binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d’essais indépendants avec une probabilité de succès constante. Pour cinq essais indépendants avec succès à 40 %, exactement trois succès ont probabilité C(5,3)×0,4³×0,6²=23,04 %. Au plus un succès donne P(0)+P(1)=33,696 %. Saisissez 40 dans le champ en pourcentage, pas 0,4, et distinguez exact et cumulé.
- Saisissez n entier entre 0 et 1000.
- Saisissez p entre 0 et 100 %, puis k succès.
- Calculez P(X=k), P(X≤k), P(X≥k), moyenne et variance.
Comment le calcul est effectué
Exemple
Exemple : n=10, p=50 %, k=5 donne une probabilité exacte d’environ 24,61 %.
Remarques importantes
Le modèle suppose des essais indépendants, p constant et deux issues par essai. Un tirage sans remise dans une petite population peut nécessiter une loi hypergéométrique.
Exemples résolus et interprétation
Quatre essais indépendants avec 50 % de réussite chacun donnent 37,5 % de probabilité de deux réussites exactement. L’espérance vaut 2, sans garantir ce résultat.
| Cas | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Exactement deux réussites | 6 × 0.5² × 0.5² × 100 | 37,5 % |
| Effectif attendu | 4 × 0.5 | 2 |
| Exactement trois succès : n=5, p=40 % | 10 × 0.4³ × 0.6² × 100 | 23,04 % |
| Au plus un succès : n=5, p=40 % | (0.6⁵ + 5 × 0.4 × 0.6⁴) × 100 | 33,696 % |
Comment vérifier le résultat
Saisissez n=4, p=50 et k=2. Le modèle exige effectif fixé, probabilité constante et indépendance ; un tirage sans remise dans un petit groupe peut demander une autre loi.
Probabilités de la loi binomiale
La loi binomiale donne la probabilité d’obtenir exactement k succès sur n essais indépendants avec une probabilité de succès fixe p.
- 2 succès sur 4 essais: C(4,2) × 0.5² × 0.5² = 0.375
- Aucun succès sur 3 essais: 0.8³ = 0.512
- Espérance pour 4 essais: 4 × 0.5 = 2
Remarque importante
Le modèle suppose des essais indépendants et une probabilité constante, sans quoi il peut être inadapté.
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Questions fréquentes
Exactement ou au plus ?
Exactement k concerne un seul nombre de succès ; au plus k additionne de 0 à k.
p peut-il valoir 0 % ou 100 % ?
Oui. La loi devient déterministe et le calculateur gère ces deux cas.
Quand la loi binomiale est-elle inadaptée ?
Elle peut être inadaptée si la probabilité change, si les essais dépendent les uns des autres ou ont plus de deux issues. Un tirage sans remise peut nécessiter la loi hypergéométrique.
Comment calculer au moins k succès ?
Utilisez P(X≥k)=1−P(X≤k−1). Avec n=5 et p=40 %, au moins trois succès donnent 31,744 %. Soustraire P(X≤k) exclurait aussi le cas k recherché.
Le nombre attendu de succès est-il une probabilité ?
Non. L’espérance vaut np ; un nombre précis a une probabilité binomiale. Pour n=5 et p=40 %, l’espérance est 2, mais P(X=2) ne vaut pas 2.