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Mode d’emploi
Un logarithme indique l'exposant qu'il faut appliquer à une base pour obtenir une valeur. Puisque 2 puissance 8 donne 256, le logarithme de 256 en base 2 vaut 8. L'outil propose le logarithme naturel de base e, le logarithme décimal de base 10, le binaire en base 2 ainsi qu'une base personnalisée positive différente de 1. Son mode inverse calcule une puissance à partir de la base et de l'exposant. Cette distinction permet d'étudier des croissances exponentielles, des équations et des ordres de grandeur sans confondre la valeur connue, la base et le résultat logarithmique.
- Choisissez ln, logarithme décimal, binaire ou base personnalisée selon la question à résoudre, sans supposer toujours la base dix.
- Saisissez une valeur x strictement positive ; une base personnalisée doit être positive et différente de un.
- Lisez l'exposant calculé, puis vérifiez la puissance inverse affichée en tenant compte des arrondis numériques.
- Pour calculer un antilogarithme, choisissez le mode inverse et indiquez la base ainsi que l'exposant connu.
Comment le calcul est effectué
Exemple
Testez différentes bases pour comprendre le calcul. En base 2, la valeur 256 donne log₂(256) = 8 car 2⁸ = 256. En base 10, x = 0,001 donne −3 puisque 10⁻³ = 0,001 : un logarithme négatif reste valable pour un nombre positif inférieur à un. En base naturelle, ln(e²) = 2, avec e² proche de 7,38906. Le mode inverse calcule par exemple 10 puissance −3, soit 0,001. Il ne faut pas confondre cette opération avec le réciproque numérique d'un logarithme.
Remarques importantes
Dans l'ensemble réel, on ne calcule pas de logarithme de zéro ou d'un nombre négatif. La base doit être positive et distincte de un ; une base entre zéro et un est permise, mais la fonction logarithmique devient décroissante. Les calculs en virgule flottante peuvent entraîner des écarts d'arrondi. Une puissance inverse extrême peut également dépasser les limites de représentation numérique. Vérifiez donc toujours le domaine de l'équation, surtout avant de transformer une inégalité ou d'utiliser un changement de base.
Exemples résolus et interprétation
Un logarithme cherche l’exposant : à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir le nombre ? Le logarithme de 1000 en base 10 vaut donc 3, et celui de 32 en base 2 vaut 5.
| Cas | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Base dix | log₁₀(1000) = 3 ⇔ 10³ = 1000 | 3 |
| Base deux | log₂(32) = 5 ⇔ 2⁵ = 32 | 5 |
| Logarithme de un | log₁₀(1) | 0 |
| Log inverse : base 10, exposant −2 | 10^−2 | 0,01 |
| Logarithme de 0,125 en base 0,5 | ln(0.125) ÷ ln(0.5) | 3 |
Comment vérifier le résultat
Pour les logarithmes réels, l’entrée doit être positive et la base positive et différente de un. ln utilise la base e et diffère du logarithme décimal. Vérifiez en élevant la base au résultat pour retrouver l’entrée.
Logarithmes en base 10, base 2 et logarithme népérien
Le logarithme donne l'exposant auquel élever une base positive pour obtenir un nombre donné. Ainsi log₁₀(1000) vaut 3 puisque 10³ fait 1000. Le logarithme naturel a pour base e ; une formule de changement de base permet d'utiliser les autres bases.
- Logarithme décimal de 1000: log₁₀(1000) = 3
- Logarithme de 32 en base 2: log₂(32) = 5
- Logarithme naturel de e²: ln(e²) = 2
Précaution de calcul
Dans les nombres réels, l'argument doit être strictement positif et la base positive mais différente de un. Le logarithme de zéro et des nombres négatifs n'est pas défini.
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Questions fréquentes
Quelle différence entre ln et log de base 10 ?
Le logarithme naturel utilise la base e alors que le décimal utilise la base dix ; les valeurs diffèrent.
Un logarithme peut-il être négatif ?
Oui. Par exemple log₁₀(0,001) = −3, car une puissance négative de dix peut donner un nombre positif inférieur à un.
Antilogarithme signifie-t-il valeur réciproque ?
Non. Il s'agit de calculer la puissance de la base à un exposant donné, pas d'inverser un logarithme numérique.