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Mode d’emploi
Ce calculateur évalue une loi exponentielle de taux λ positif. Il fournit la densité en x, la CDF P(X≤x), la survie P(X>x), la probabilité entre deux bornes, la moyenne, la variance, l’écart type et la médiane. Ce modèle sert souvent aux temps d’attente entre événements indépendants à taux constant.
- Saisissez un taux λ positif.
- Saisissez x et les bornes a et b.
- Calculez densité, probabilités cumulée et de survie et les propriétés de la loi.
Comment le calcul est effectué
Exemple
Exemple : avec λ=0,5 et x=3, P(X>3)=e^-1,5≈0,22313, P(X≤3)≈0,77687 et la moyenne vaut 1/λ=2. Si λ=0,5 événement par minute, l’attente moyenne vaut 2 minutes. Pour la probabilité d’attendre entre 1 et 4 minutes, saisissez a=1 et b=4 : e^−0.5−e^−2≈0,471195, soit 47,1195 %. Tous les temps doivent être en minutes puisque le taux est par minute.
Remarques importantes
La loi exponentielle suppose un taux constant et l’absence de mémoire. Si le risque varie dans le temps, un autre modèle peut être préférable. Certaines références utilisent l’échelle β=1/λ plutôt que λ.
Exemples résolus et interprétation
Un taux de 0,5 par unité de temps donne une attente moyenne de deux unités. La probabilité d’attendre plus de deux unités est d’environ 36,788 % sous la loi exponentielle.
| Cas | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Probabilité de dépasser deux unités | e⁻⁽⁰·⁵ײ⁾ × 100 | 36,787944 % |
| Attente moyenne | 1 ÷ 0.5 | 2 |
| Probabilité de 1–4 minutes au taux 0,5/minute | exp(−0.5 × 1) − exp(−0.5 × 4) | 0,471195 |
| Médiane d’attente au même taux | ln(2) ÷ 0.5 | 1,386294 min |
Comment vérifier le résultat
Saisissez taux 0,5, x=2 et bornes 0 et 2. Accordez l’unité de temps à celle du taux ; le modèle suppose taux constant et propriété sans mémoire.
Questions fréquentes
Quelle différence entre PDF et CDF ?
La PDF est une densité ; la CDF donne la probabilité que X≤x.
P(X=x) est-il égal à la PDF ?
Non. Pour une loi continue, un point exact a une probabilité nulle.
Quelle est la moyenne ?
Moyenne et écart type valent 1/λ, et la variance 1/λ².
Comment calculer la probabilité entre deux durées?
Pour 0≤a≤b, la probabilité vaut e^(−λa)−e^(−λb). Saisissez les deux bornes. Des bornes égales donnent une probabilité nulle car la distribution est continue.
Faut-il saisir le taux ou l’attente moyenne?
Le champ attend le taux λ et non la moyenne. Pour une attente moyenne de 5 minutes, saisissez λ=1/5=0,2 par minute et utilisez des minutes pour x et les bornes.