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Mode d’emploi
Cet outil résout un système linéaire 2×2 ou 3×3. Il utilise l’élimination de Gauss avec pivot partiel pour la stabilité numérique et distingue solution unique, système incompatible ou infinité de solutions.
- Choisissez 2×2 ou 3×3.
- Saisissez les coefficients et le membre droit de chaque équation ; en 2×2 seules les deux premières variables et équations sont utilisées.
- Calculez pour obtenir la classification et la solution unique si elle existe.
Comment le calcul est effectué
Exemple
Exemple 2×2 : 2x+y=5 et x−y=1. La solution unique est x=2, y=1 et vérifie les deux équations. Exemple à trois inconnues : x+y+z=6, 2x−y+z=3 et x+2y−z=2. Choisissez 3×3, puis les lignes (1 ;1 ;1), (2 ;−1 ;1), (1 ;2 ;−1) et constantes 6,3,2. La solution x=1, y=2, z=3 redonne 6,3,2 par substitution. Le coefficient de −y vaut −1 ; le membre droit se saisit séparément.
Remarques importantes
Le calculateur utilise l’arithmétique flottante ; les systèmes presque singuliers peuvent être sensibles numériquement. Pour des usages critiques ou de grands systèmes, utilisez un logiciel numérique spécialisé et contrôlez le conditionnement.
Exemples résolus et interprétation
Les équations x+y=5 et x−y=1 ont pour solution unique x=3, y=2. Leur addition élimine y ; remplacer x dans la première équation permet de vérifier le résultat.
| Cas | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Valeur de x | 2x = 6 → x = 6 ÷ 2 | 3 |
| Valeur de y | y = 5 − 3 | 2 |
| x du système x+y+z=6 ; 2x−y+z=3 ; x+2y−z=2 | x = 1; 1 + 2 + 3 = 6 | 1 |
| y dans le système à trois variables de l’exemple | y = 2; 2(1) − 2 + 3 = 3 | 2 |
| z dans le système à trois variables de l’exemple | z = 3; 1 + 2(2) − 3 = 2 | 3 |
Comment vérifier le résultat
Des équations proportionnelles peuvent ne pas avoir de solution unique. x+y=5 et 2x+2y=10 ont une infinité de solutions ; remplacer 10 par 11 les rend incompatibles. Gardez le même ordre de coefficients dans chaque ligne.
Questions fréquentes
Quand y a-t-il une infinité de solutions ?
Lorsque les équations sont dépendantes et le système reste compatible, au moins une variable est libre.
Quand n’y a-t-il aucune solution ?
Lorsque l’élimination fait apparaître une contradiction, par exemple 0 égal à une valeur non nulle.
Utilise-t-il la règle de Cramer ?
Non. Il utilise l’élimination de Gauss avec pivot partiel.
Comment saisir une variable absente ?
Utilisez un coefficient nul. Ainsi x+z=4 correspond à (1 ;0 ;1) et constante 4 en mode 3×3.
Comment vérifier la solution ?
Remplacez les variables dans chaque équation initiale et comparez au membre droit. L’arrondi décimal peut créer de petits écarts.