مِحسبةطريقة الاستخدام
تحسب الأداة خصائص المخروط الدائري القائم من قياسين مستقلين. يمكنك إدخال نصف القطر أو القطر مع الارتفاع العمودي، أو إدخال نصف القطر/القطر مع الراسم. في وضع الراسم تُستخرج قيمة الارتفاع بنظرية فيثاغورس قبل حساب الحجم ومساحات السطح. إذا عرفت القطر فاقسمه على 2 قبل استخدام قوانين المخروط. مثلًا قطر 10 cm وارتفاع عمودي 12 cm يعطيان نصف قطر 5 cm وراسمًا 13 cm؛ الحجم 100π cm³ والمساحة الكلية 90π cm². راجع المساحة الجانبية وحدها إذا لم تدخل القاعدة في المساحة المطلوبة.
- اختر هل قياس القاعدة نصف قطر أم قطر.
- اختر هل القياس الثاني ارتفاع عمودي أم راسم.
- أدخل القيم الموجبة بنفس وحدة الطول.
- راجع نصف القطر والارتفاع والراسم والحجم ومساحات القاعدة والجانب والسطح الكلي.
طريقة الحساب
مثال عملي
إذا كان نصف القطر 3 سم والارتفاع 4 سم، فالراسم 5 سم. الحجم = 12π ≈ 37.699 سم³، ومساحة القاعدة = 9π، والمساحة الجانبية = 15π، والمساحة الكلية = 24π ≈ 75.398 سم².
ملاحظات مهمة
الصيغ خاصة بمخروط دائري قائم يكون رأسه فوق مركز القاعدة. إذا أدخلت الراسم فيجب أن يكون أكبر من نصف القطر؛ وإلا لا يوجد ارتفاع عمودي موجب. الحجم بوحدة مكعبة والمساحات بوحدة مربعة.
أمثلة عملية وقراءة النتائج
في مخروط قائم نصف قطره 3 سم وارتفاعه العمودي 4 سم، الراسم يساوي 5 سم. الراسم يدخل في مساحة السطح الجانبي، بينما الارتفاع العمودي يدخل في معادلة الحجم.
| الحالة | طريقة الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| الراسم | √(3² + 4²) | 5 cm |
| الحجم | π × 3² × 4 ÷ 3 | 37.699112 cm³ |
| المساحة الكلية | π × 3 × (3 + 5) | 75.398224 cm² |
| الحجم: قطر 10 cm وارتفاع 12 cm | π × (10 ÷ 2)² × 12 ÷ 3 | 314.159265 cm³ |
| المساحة الكلية: نصف قطر 5 cm وراسم 13 cm | π × 5 × (5 + 13) | 282.743339 cm² |
كيف تتحقق من النتيجة؟
القطر ضعف نصف القطر. إدخال القطر مكان نصف القطر يضاعف الأبعاد ويعطي حجمًا غير صحيح. هذه المعادلات تخص المخروط الدائري القائم، والمساحة الكلية تشمل القاعدة.
حجم المخروط ومساحة السطح الجانبية والكلية
لحساب حجم المخروط الدائري القائم اضرب π في مربع نصف قطر القاعدة والارتفاع العمودي، ثم اقسم على ثلاثة. المساحة الجانبية تساوي π مضروبة في نصف القطر والراسم المائل، أما المساحة الكلية فتضيف إليها مساحة القاعدة الدائرية.
- حجم مخروط نصف قطره 3 وارتفاعه 4: π × 3² × 4 ÷ 3 = ≈ 37.70
- المساحة الجانبية لراسم طوله 5: π × 3 × √(3² + 4²) = ≈ 47.12
- المساحة الكلية مع القاعدة: π × 3 × (3 + √(3² + 4²)) = ≈ 75.40
تنبيه عند الحساب
الراسم المائل للمخروط ليس هو الارتفاع العمودي. المساحة الجانبية لا تشمل قاعدة المخروط، بينما مساحة السطح الكلية تشمل القاعدة.
حاسبات مشابهة
أسئلة شائعة
هل حجم المخروط يساوي حجم الأسطوانة؟
لا. للمخروط والأسطوانة ذوي القاعدة والارتفاع نفسيهما يكون حجم المخروط ثلث حجم الأسطوانة.
ما الفرق بين الارتفاع والراسم؟
الارتفاع عمودي من الرأس إلى مركز القاعدة، أما الراسم فيمتد على السطح من الرأس إلى حافة القاعدة.
هل يمكن إدخال القطر بدل نصف القطر؟
نعم. تختار القطر والحاسبة تقسمه على اثنين داخليًا.
كيف أحسب حجم مخروط من نصف القطر والراسم فقط؟
احسب الارتفاع h = √(l² − r²)، ثم V = πr²h/3. يجب أن يكون الراسم l أكبر من نصف القطر r؛ اختر إدخال الراسم في الحاسبة.
كيف أحسب حجم مخروط إذا كان نصف قطره 3 وارتفاعه 4؟
الحجم V = πr²h/3. عند r = 3 وh = 4 يصبح V = π × 9 × 4 ÷ 3 = 12π وحدة مكعبة، أي نحو 37.699. استخدم الارتفاع العمودي لا طول الضلع المائل.
ما الفرق بين المساحة الجانبية والكلية للمخروط؟
المساحة الجانبية = πrℓ، حيث ℓ = √(r² + h²)، أما المساحة الكلية فتساوي المساحة الجانبية زائد القاعدة πr². عند r=3 وh=4 يكون ℓ=5؛ الجانبية 15π والكلية 24π وحدة².