مِحسبةطريقة الاستخدام
المخروط الناقص هو جزء من مخروط محصور بين قاعدتين دائريتين متوازيتين. من نصفي القطر R وr والارتفاع العمودي h تحسب الأداة الحجم والارتفاع المائل والمساحة الجانبية ومساحتي القاعدتين والمساحة الكلية. لمخروط ناقص بنصفي قطر 5 cm و2 cm وارتفاع عمودي 4 cm، الراسم √(4²+(5−2)²)=5 cm. الحجم 52π ≈ 163.3628 cm³ والمساحة الكلية 64π ≈ 201.0619 cm². إذا كانت القياسات المتاحة أقطارًا، اقسم كل قطر على 2 قبل إدخال نصفي القطر.
- أدخل نصف قطر القاعدة الأولى R.
- أدخل نصف قطر القاعدة الثانية r والارتفاع العمودي h بنفس وحدة الطول.
- احسب للحصول على القياسات الهندسية الكاملة.
طريقة الحساب
مثال عملي
مثال: R=5 وr=3 وh=8 يعطي ℓ=√68≈8.246، والحجم V=π×8×(25+15+9)÷3≈410.50 وحدة مكعبة.
ملاحظات مهمة
استخدم نفس وحدة الطول لكل الأبعاد. المساحات تظهر بوحدة مربعة والحجم بوحدة مكعبة. إذا كان أحد نصفي القطر صفرًا تصبح الحالة مخروطًا كاملًا، وإذا تساويا تصبح أسطوانة.
أمثلة عملية وقراءة النتائج
جذع مخروط قائم نصفا قطر قاعدتيه 3 و1 سم وارتفاعه 4 سم حجمه يساوي 52 مضروبًا في π ومقسومًا على 3، بوحدة سم³. المعادلة تجمع حدود نصفي القطر، ولا يكفي استعمال متوسطهما بدل نصف قطر أسطوانة.
| الحالة | طريقة الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| الحجم | π × 4 × (3² + 3×1 + 1²) ÷ 3 | 54.454273 cm³ |
| الراسم | √(4² + (3−1)²) | 4.472136 cm |
| الحجم: R=5 cm وr=2 cm وh=4 cm | π × 4 × (25 + 10 + 4) ÷ 3 | 163.362818 cm³ |
| المساحة الكلية: R=5 cm وr=2 cm وراسم 5 cm | π × (5 + 2) × 5 + π × (25 + 4) | 201.06193 cm² |
كيف تتحقق من النتيجة؟
عند تساوي نصفي القطر يتحول الشكل إلى أسطوانة، وعند صغر أحدهما إلى صفر يصبح مخروطًا كاملًا. أدخل أنصاف الأقطار لا الأقطار، واستخدم الارتفاع العمودي لا الراسم لحساب الحجم.
حجم المخروط الناقص ومساحته الجانبية بخطوات واضحة
حجم المخروط الناقص ذي القاعدتين الدائريتين يعتمد على نصف القطر الكبير R والصغير r والارتفاع العمودي h. احسب الحجم من πh(R²+Rr+r²)/3، ثم احسب المولد من الجذر التربيعي لـ h²+(R−r)².
- الحجم عند R=4 وr=2 وh=3: π × 3 × (16 + 8 + 4) ÷ 3 = 28π وحدة³
- الارتفاع المائل للقيم نفسها: √(3² + (4−2)²) = √13 وحدة
- المساحة الكلية للقيم نفسها: π×(4+2)×√13 + π×(16+4) = π(6√13 + 20) وحدة²
تنبيه مهم
لا تخلط الارتفاع العمودي بالمولد المائل. في المساحة الكلية أضف مساحة الدائرتين إلى المساحة الجانبية؛ أما حجم المجسم فيستخدم الارتفاع العمودي فقط.
حاسبات مرتبطة
أسئلة شائعة
هل يجب أن يكون R أكبر من r؟
لا، الصيغ متماثلة بالنسبة لنصفي القطر، ويمكن إدخالهما بأي ترتيب.
ما الفرق بين h وℓ؟
h ارتفاع عمودي بين القاعدتين، أما ℓ فهو الطول المائل على السطح.
هل تحسب الأداة المساحة الكلية؟
نعم، تجمع المساحة الجانبية مع مساحتي القاعدتين.
كيف أحسب الارتفاع المائل بصورة صحيحة؟
لجذع مخروط دائري قائم، الارتفاع المائل s=√(h²+(R−r)²). تستخدم مساحة السطح الجانبية π(R+r)s؛ أما المخروط المائل أو الأشكال غير الدائرية فتحتاج نموذجًا مختلفًا.
هل قانون المخروط الناقص يعمل عندما يتساوى نصفا القطر؟
نعم. يصبح الشكل أسطوانة: إذا R=r، فالحجم πR²h والراسم h. وإذا كان أحد نصفي القطر صفرًا يصبح مخروطًا قائمًا.